Vers une modélisation algébrique des points, droites et plans

D'un point de vue mathématique, la manière la plus élégante d'introduire la géométrie analytique à trois dimensions est de la subordonner à l'algèbre linéaire : on définit d'entrée de jeu les droites et les plans de manière vectorielle pour en tirer ensuite les écritures paramétriques et, in fine, les équations cartésiennes. Et c'est ce qui explique le succès d’une approche semblable dans l’enseignement secondaire, laquelle emprunte à l’algèbre linéaire des éléments emblématiques sans toutefois en respecter l’architecture déductive complète. Ainsi, on passe sous silence des théorèmes jugés trop difficiles à ce niveau, en particulier celui qui justifie le passage des égalités vectorielles aux égalités paramétriques, lequel est alors réduit au statut de "recette".

Plusieurs recherches montrent qu’un tel enseignement, relativement axé sur les procédures, néglige souvent certaines phases de cet apprentissage, considérées comme "allant de soi", alors qu’elles suscitent des questions de la part des élèves ou sont source d’erreurs significatives dans les registres cartésien et paramétrique.

Le présent projet permet de travailler ces apprentissages négligés en commençant par articuler intuitions géométriques, d’une part, écritures cartésiennes et paramétriques, d’autre part, pour construire ensuite et progressivement le registre vectoriel. Il propose une structure globale de cours composée de phases exploratoires "mimant" un déroulement probable dans les classes et de synthèses théoriques. Mais il donne aussi des idées d’activités s’intégrant dans une approche plus classique.


Paperback - In French 22.50 €

Specifications


Publisher
Presses universitaires de Liège
Author
Catherine Lebeau, Maggy Schneider,
Collection
Si les mathématiques m'étaient contées
Language
French
BIC subject category (UK)
P Mathematics & science > PBF Algebra
Onix Audience Codes
06 Professional and scholarly
Title First Published
15 June 2009

Paperback


Publication Date
15 June 2009
ISBN-13
978-2-87456-091-0
Extent
Main content page count : 138
Code
9782874560910
Dimensions
17 x 24 cm
Weight
245 grams
List Price
22.50 €
ONIX XML
Version 2.1, Version 3

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Contents


1 Explorations 7
1Interprétation géométrique d'équations 9
1.1 Une équation qui se prête à priori à une double interprétation 10
1.2 D'une parabole à un cylindre parabolique 11
1.3 Jeux sur les variables 12
1.4 Bilan de la première exploration 13
2 Equations de plans particuliers 15
2.1 Equation d'un plan parallèle à l’axe Ox 15
2.2 Equation d’un plan de coordonnées 16
2.3 Equation d’un plan parallèle à un plan de coordonnées 16
3 Positions relatives de deux plans 19
3.1 Plans confondus 19
3.2 Plans parallèles 19
3.3 Plans sécants 20
4 Positions relatives de droites 21
4.1 Droites parallèles 21
4.2 Le quatrième sommet d’un parallélogramme 23
4.3 Deux écritures pour une même droite 24
4.4 Calcul du point d’intersection de deux droites 25
5 Coplanarité de points et caractérisations algébriques des plans 27
5.1 Points coplanaires avec l’origine 27
5.2 Points appartenant à un même plan ne passant pas par l’origine 29
6 Alignement de points et caractérisations algébriques des droites 31
6.1 Points alignés avec l’origine 31
6.1.1 Vérifier que deux points sont alignés avec l’origine 31
6.1.2 Trouver tous les points d’une droite passant par l’origine 35
6.2 Points alignés sur une droite qui ne passe pas par l’origine 35
6.2.1 Vérifier que trois points sont alignés 35
6.2.2 Trouver l’écriture de tous les points d’une droite 36
7 Orthogonalité et perpendicularité 39
7.1 Droites orthogonales 39
7.2 Un exemple de droite perpendiculaire à un plan 40
7.3 Un exemple de plan perpendiculaire à une droite 40
7.4 Un exemple de droite perpendiculaire à une autre 41
8 Positions relatives de trois plans et systèmes linéaires 43
8.1 Un inventaire a priori 43
8.2 Trois plans ayant un seul point commun 43
8.3 Trois plans dont deux sont confondus et le troisième est parallèle disjoint 46
8.4 Trois plans se coupant en une droite 47
II Synthèses théoriques 51
9 Repérage dans l’espace 53
9.1 Repérage dans l’espace 53
9.2 Repérage et repère orthonormé de l’espace 54
9.2 Coordonnées d’un point dans l’espace 54
10 Des équations de base dans l’espace 57
11 Caractérisations analytiques des droites 59
11.1 Caractérisation algébrique de l’alignement de points 59
11.2 Equations paramétriques d’une droite 61
11.3 Equations paramétriques des axes 63
11.4 Equations cartésiennes d’une droite 63
12 Parallélogrammes, translations et positions relatives de droites 65
12.1 Une caractérisation algébrique des parallélogrammes 65
12.2 Translattion : définition et propriétés 67
12.3 Positions relatives des droites 69
12.3.1 Plusieurs écritures algébriques d’une même droite 69
12.3.2 Droites parallèles 70
12.3.3 Droites gauches et droites sécantes 71
13 Caractérisations analytiques des plans 73
13.1 Plans passant par l’origine : équations paramétriques et équations cartésienne 73
13.1.1 Equations paramétiques 73
13.1.2 Equation cartésienne 75
13.2 Plans ne contenant pas l’origine 76
14 Positions relatives de deux plans ou d’une droite et d’un plan 79
14.1 Plans confondus 79
14.2 Plans parallèles distincts 80
14.3 Plans sécants 80
14.4 Positions relatives de droites et de plans 80
15 Points de vue unificateurs 83
15.1 Degré de liberté, dimension et nombre d’équations 83
15.2 Caractérisation vectorielle des droites et des plans 85
16 Distance et produit scalaire 87
16.1 Distance entre deux points 87
16.2 Condition nécessaire de la perpendicularité entre deux droites et produit scalaire 89
17 La perpendicularité dans l’espace 91
17.1 Orthogonalité de vecteurs et de droites 91
17.2 Droite et plan perpendiculaires 92
17.3 Plans perpendiculaires 95
18 Résolution de systèmes linéaires 3 x 3 97
18.1 Systèmes équivalents et faisceaux de plans 97
18.2 Déterminant 100
18.3 Plans parallèles ou confondus 103
18.4 Plans formant un faisceau 104
18.5 Plans formant une «tente» 105
18.6 Plans sécants en un point 106
18.7 Une arborescence algébrique 107
18.8 Interprétations de l’annulation du déterminant 108
18.8.1 Coplanarité 108
18.8.2 Parallélisme d’une droite et d’un plan 109
19 Un chassé-croisé entre géométrie et physique en guise d’application 111
19.1 Du barycentre de deux points pondérés au rapport de section 111
19.2 Médianes d’un triangle, centre de gravité et barycentre de trois points pondérés 114
19.2.1 Propriétés des médianes d’un triangle 114
19.2.2 Centre de gravité d’un triangle 118
19.2.3 Barycentre de trois points pondérés 119
19.3 Propriétés d’un tétraèdre, centre de gravité et barycentre de quatre points pondérés 123
20 A la recherche des prérequis théoriques 129
20.1 Propriétés des projections parallèles 129
Bibliographie