Logique formelle

Sommaire

Introduction
1 Le calcul des propositions 
1.1 Introduction
1.2 Langage et métalangage
1.3 Syntaxe et sémantique
1.3.1 Vérité et fausseté
1.4 La notion de proposition
1.4.1 La forme propositionnelle
1.4.2 Propositions simples et complexes
1.5 Les foncteurs propositionnels
1.5.1 Le sens des foncteurs propositionnels
1.5.2 Les tables de vérité
1.5.3 Foncteurs propositionnels à un argument propositionnel 
1.5.4 Les foncteurs propositionnels à deux arguments propositionnels
1.6 Tests de validité 
1.6.1 Méthode des tables de vérité 
1.6.2 Méthode des tableaux sémantiques
1.7 Lois du calcul des propositions
1.8 Principes du calcul des propositions
1.9 Étude du conditionnel
1.9.1 Le débat mégarico-stoïcien sur la nature du conditionnel
1.9.2 Frege et la redécouverte du conditionnel matériel 
1.9.3 Propriétés du conditionnel matériel
1.9.4 Les paradoxes du conditionnel matériel
234 Logique formelle
1.9.5 Importance du conditionnel matériel
1.10 Validité inférentielle et vérité propositionnelle
1.10.1 Les cinq schémas d'inférence stoïciens
1.11 La méthode axiomatique
1.12 Métathéorie
1.12.1 La consistance
1.12.2 La complétude
1.12.3 La catégoricité
1.12.4 La décidabilité
1.13 La méthode de déduction naturelle
1.13.1 Règles opératoires
1.13.2 Règles générales
2 La syllogistique
2.1 Introduction
2.2 La proposition aritotélicienne
2.3 Les inférences immédiates
2.3.1 Le carré des oppositions
2.3.2 La conversion
2.3.3 L'obversion
2.3.4 La contraposition
2.4 Les inférences médiates: le syllogisme
2.4.1 La syllogistique
2.4.2 Règles de validité des syllogismes
2.4.3 Les syllogismes parfaits
2.5 Fortune de la syllogistique
3 Le calcul des prédicats
3.1 Introduction
3.2 La notion de fonction propositionnelle
3.3 La quantification
3.3.1 La portée
3.3.2 La quantification universelle
3.3.3 La quantification existentielle
3.4 Le calcul d'ordre
3.5 La négation
3.6 Intertraductibilité des quantificateurs
3.7 Théorème de dualité
3.8 Syllogistique et calcul des prédicats
3.8.1 Traduction des propositions A, E, I, O
3.8.2 Procédure de preuve des syllogismes
3.9 Les descriptions définies
4 Le calcul des classes
4.1 Introduction
4.2 La notion de classe: définitions en extension et en intension9
4.3 Le principe d'extensionalité
4.4 Quelques classes remarquables
4.4.1 La classe universelle et la classe nulle
4.4.2 La classe unaire
4.4.3 La paire
4.5 Quelques notions d'algèbre des classes
4.6 L'antinomie de Russell
4.7 La théorie des types de Russell
4.7.1 L'axiome de réductibilité
4.8 La théorie ZF
4.8.1 L’axiome de séparation
4.8.2 L’axiome du choix
4.9 Traitement de l’antinomie de Russell selon la vision collective
5 Le calcul des relations
5.1 Introduction
5.2 La notion de relation
5.2.1 Définition en extension
5.2.2 La réduction des relations
5.2.3 Domaine, co-domaine et champ
5.2.4 Propriétés du champ
5.3 Structure
5.4 Propriétés des relations
5.4.1 La symétrie
5.4.2 L’asymétrie
5.4.3 L’antisymétrie
5.4.4 La transitivité
5.4.5 La réflexivité
5.4.6 L’irréflexivité
5.5 Opérations sur les relations
5.5.1 La converse
5.5.2 La négation
5.5.3 Le produit logique de deux relations
5.5.4 La somme logique de deux relations
5.5.5 L’égalité de deux relations
5.5.6 Produit relatif de deux relations
5.5.7 La quantification
5.6 Quelques relations remarquables
5.6.1 Les fonctions
5.6.2 Les relations d’équivalence
5.6.3 L’identité
5.6.4 Les relations d’ordre
5.7 Exemple d’application du calcul des relations: l’arithmétique de Peano 
Conclusion
A Métathéorie du calcul des propositions 
A.1 Syntaxe 
A.2 Sémantique du calcul des prédicats
A.3 Consistance du calcul des propositions 
A.4 Théorème de la déduction 
A.5 La cohérence sémantique
A.6 La complétude sémantique
A.7 La complétude syntaxique
Bibliographie